【海川小茶馆】动脑系列：题型怪异的压轴题

正方形ABCD中有一个半圆和四分之一圆，其中半圆直径为7，四分之一圆半径为5，两圆弧公切线交正方形于E、F两点。求红色线段EF的长。

鱼总出的题太难了，不会做

答案是7/2+5=8.5，明天再研究具体细节。

设 半圆圆心为G  正方形边长为L  GD=a  连接GC 交EF于切点H  EH=x FH=y 连接CE  
则
5/y=L/a
8.5*8.5=a*a+(a+3.5)(a+3.5)   推出a=4 L=7.5
(7.5-x)*(7.5-x)+7.5*7.5=x*x+5*5 =CE*CE
x=175/30     y=4/7.5*5=40/15   x+y=(175+80)/30=51/6=8.5

另：通过证明正方形内端点在正方形边上的2条相互垂直的线段相等，即可推出3.5+5  辅助线过正方形顶点，即可证明两三角形全等。

chen/74 发表于 2021-7-28 19:31
设 半圆圆心为G  正方形边长为L  GD=a  连接GC 交EF于切点H  EH=x FH=y 连接CE  
则
5/y=L/a

5/y=L/a
8.5*8.5=a*a+(a+3.5)(a+3.5)   推出a=4 L=7.5

看不懂，两个公式，三个未知数，能推导出结果来？如果这时候能推出a,L的数值，y值应该也出来了。

证得两红色的三角形全等即可（共切线是两圆半径连线旋转90度后与正方形两边的交点）

扬清 发表于 2021-7-29 11:01
证得两红色的三角形全等即可（共切线是两圆半径连线旋转90度后与正方形两边的交点）

嗯，这个思路正确，给你1分，怕你骄傲。
对角相等，边长相等。

thinkofme 发表于 2021-7-28 16:53
鱼总出的题太难了，不会做

不难呀，看看楼上已经有做出来的了，

作图法就可以了

没有复杂的计算，也就是简单的原理

dinggw.osec 发表于 2021-7-28 17:27

凭题目已知条件要作个CAD还是有些难的，弄了半天，图作出来也就解出来了。

扬清 发表于 2021-7-29 11:01
证得两红色的三角形全等即可（共切线是两圆半径连线旋转90度后与正方形两边的交点）

证得两红色的三角形全等

就把正方形这个条件用上了

沙漠里的游鱼 发表于 2021-7-31 09:43
证得两红色的三角形全等

就把正方形这个条件用上了

当时是无法确定正方形边长，感觉很难作图。

扬清 发表于 2021-7-31 09:57
当时是无法确定正方形边长，感觉很难作图。

首先可以证明ab和cd是垂直的就好算了

幸好有你 发表于 2021-7-29 11:43
嗯，这个思路正确，给你1分，怕你骄傲。
对角相等，边长相等。

当上边哪个半圆的直径为零的时候，是什么情况呢？

扬清 发表于 2021-7-31 09:57
当时是无法确定正方形边长，感觉很难作图。

当下边那个四分之一圆半径为零的时候，是一种什么情况》？？？

沙漠里的游鱼 发表于 2021-7-31 17:32
当上边哪个半圆的直径为零的时候，是什么情况呢？

什么情况？公切线EF怎么画？EF=正方形边长或无穷大？